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A quoi servent les formalismes?

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Robert MartyProfesseur Honoraire, Université de Perpignan (France)    robert.marty@bbox.fr

Ce texte propose une réponse à la question posée par Jon Awbrey à propos du rôle des systèmes d’axiomes dans la recherche de la vérité scientifique.

Jon Awbrey écrit[1] :

« Nous ne vivons pas dans des systèmes axiomatisés. Nous ne vivons pas enfermés dans des langues, formelles ou naturelles. Il n’y a aucune raison de penser que nous aurons un jour des théories exactes et exhaustives de ce qui existe, et la vérité, comme nous le savons, est « là-bas ». Peirce a compris qu’il y a plus de vérités en mathématiques qu’on n’en rêve en logique et le réalisme de Gödel aurait dû mettre le dernier clou dans le cercueil du logicisme, mais certaines façons de penser n’en ont jamais la moindre idée.

Cela nous amène à la question :

A quoi servent les formalismes et toutes leurs incarnations dans les cerveaux et les ordinateurs ? » 

1 Peirce s’est lui-même posé cette question …

Voici deux textes parmi les 76 definitions du signe[2]

1.1   Texte n°30 « Donc quelque chose (généralement au sens mathématique) est un « Priman » (non pas un élément « priman » généralement) et nous pourrions définir un signe comme suit :

1.2   un signe est n’importe quoi, A, qui,

(1) en plus de ses autres caractères propres

(2) est dans une relation dyadique r[3] avec un corrélât purement actif, B,

(3) et est aussi dans une relation triadique avec B pour un corrélât purement passif C, cette relation triadique étant telle qu’elle détermine C à être dans une relation dyadique s[4] à B, la relation correspondant de manière reconnue à la relation r.

Dans cet énoncé le sens dans lequel les mots actif et passif sont utilisés est que dans une relation donnée, considérant les divers caractères de tous les corrélats ou de quelques-uns à l’exclusion de ceux-là seuls qui impliquent tous les corrélats et sont immédiatement impliqués dans l’énoncé de la relation, aucun de ceux qui impliquent seulement des corrélats non passifs ne varieront par nécessité immédiatement essentielle avec une variation de ceux comprenant seulement des corrélats passifs ; tandis qu’aucune variation de caractères impliquant seulement des éléments non actifs n’impliqueront par nécessité immédiatement essentielle une variation de quelque caractère que ce soit impliquant seulement des éléments actifs. Et on peut ajouter que par actif-passif on entend actif et passif si la collection entière des corrélats, excluant les corrélats considérés, était divisée en deux parties et l’une et l’autre étant alternativement exclue de toute considération ; tandis que purement actif ou passif signifie actif ou passif sans être actif-passif. »

1.2 Texte n°31 « Cette définition évite les finesses de façon à mettre l’accent sur les principaux facteurs d’un signe. Néanmoins certaines explications peuvent être souhaitables. Mais d’abord pour la terminologie j’utilise « signe » dans le sens le plus large de la définition. C’est un cas merveilleux de l’usage presque populaire d’un mot très général qui est pris presque au sens exact de la définition scientifique. [...] Je préférais autrefois le mot representamen. Mais il n’était nul besoin de cet horrible long mot[...] Mon idée en préférant « representamen » était qu’il semblerait plus naturel de l’appliquer à des représentants législatifs, députés de genres variés, etc… Je continue d’admettre encore que cela aide à la compréhension de la définition de la comparer prudemment avec de tels cas. Mais ces derniers s’écartent certainement de la définition en ce sens que celle-ci requiert que l’action du signe comme tel n’apportera pas l’objet représenté. D’un représentant législatif il est, au contraire, attendu que de par ses fonctions il améliore la condition de ses mandants ; et d’attorneys en tous genres, même s’ils n’ont pas le pouvoir de décision, il est attendu qu’il affecte la condition de son client. La vérité est que je me suis fourvoyé en ne disposant pas d’une définition formelle toute prête. Cette sorte de chose est inévitable dans les premières étapes d’une étude logique puissante ; car si une définition formelle est avancée trop tôt, elle ne peut que brider la pensée. [...]. Je pensais à un representamen comme prenant la place de la chose ; mais un signe n’est pas un substitut. Ernst Mach est aussi tombé dans ce piège. » (Semiotics and Significs, pp. 192–193 – Lettre à Lady Welby (brouillon) probablement de Juillet 1905).

On retiendra donc que Peirce s’était abstenu de formaliser avant 1905 par crainte de « bloquer le chemin de la recherche » …littéralement …

Cette définition formalisée est reprise intégralement dans le texte n°66 ( MS 793, On signs, non daté)

et sous une autre forme dans le texte n°74 :

« Une représentation mentale est quelque chose qui met l’esprit en relation avec un objet. Une représentation généralement (Je définis ici mon utilisation de ce terme) est quelque chose qui amène une chose en relation avec une autre. La conception de troisième est ici impliquée, et par conséquent, aussi, la conception de second ou autre et de premier ou un. Une représentation n’est en fait qu’un quelque chose qui a un troisième à travers un autre. Nous pouvons considérer un objet :

1 – Comme un quelque chose, avec des déterminations internes,

2 – comme relié à un autre

3 – comme amenant un second en relation avec un troisième. »

Evidemment ces réflexions de Peirce sur l’opportunité de produire des définitions formelles doivent être mises en rapport avec cette vérité qui est « là bas », au bout d’un chemin indéfini. Car tout cela s’inscrit parfaitement dans la perspective pragmatiste : poser une définition formelle c’est effectivement arrêter le mouvement de la pensée et courir le risque qu’elle s’enkyste dans cette forme si on ne la confronte pas suffisamment aux existants et aux faits qu’elle prétend informer. Mais ne sommes-nous pas devant une nécessité qui impose précisément dans toute démarche scientifique des moments formels pour s’assurer que le chemin est le bon afin que la communauté scientifique concernée -seule garante de la marche collective vers l’universalité- puisse trouver un consensus après débat? Autrement dit, pour répondre clairement à Jon je dirai que les formalismes sont des passages obligés, des discontinuités, des paliers dont il n’est pas exclu, pour certains d’entre eux (je pense aux formalismes mathématiques) qu’ils puissent être un palier ultime …

2. Un exemple célèbre issu de la recherche anthropologique

Le mathématicien André Weil s’exprime ci-dessous sur un travail de mathématiques qu’il a accompli à la demande de l’ethnologue Claude Lévi-Strauss :

« D’après ce qu’ont observé les sociologues travaillant « sur le terrain », les lois de mariage des tribus indigènes d’Australie comportent un mélange de règles exogamiques et endogamiques dont la description et l’étude posent des problèmes combinatoires parfois compliqués. Le plus souvent le sociologue s’en tire par l’énumération de tous les cas possibles dans l’intérieur d’un système donné. Mais la tribu des Murngin, à la pointe Nord de l’Australie, s’était donné un système d’une telle ingéniosité que Lévi-Strauss n’arrivait plus à en dérouler les conséquences. En désespoir de cause il me soumit son problème.

Le plus difficile pour le mathématicien, lorsqu’il s’agit de mathématique appliquée, est souvent de comprendre de quoi il s’agit et de traduire dans son propre langage les données de la question. Non sans mal, je finis par voir que tout se ramenait à étudier deux permutations et le groupe qu’elles engendrent. Alors apparut une circonstance imprévue.

Les lois de mariage de la tribu Murngin, et de beaucoup d’autres, comportent le principe suivant : « Tout homme peut épouser la fille du frère de sa mère »,  ou, bien entendu, l’équivalent de celle-ci dans la classification matrimoniale de la tribu. Miraculeusement, ce principe revient à dire que les deux permutations dont il s’agit sont échangeables, donc que le groupe qu’elles engendrent est abélien. Un système qui à première vue menaçait d’être d’une complication inextricable devient ainsi assez facile à décrire dès lors qu’on introduit une notation convenable. Je n’ose dire que ce principe a été adopté pour faire plaisir aux mathématiciens, mais j’avoue qu’il m’en est resté une certaine tendresse pour les Murngin. »(Paul Lavoie, Claude Lévi-Strauss et les mathématiques)[5]

En bref, conclut Lévy-Strauss, on montre que des lois de mariage d’un certain type

« peuvent être soumises au calcul algébrique, et comment l’algèbre et la théorie des groupes de substitution peuvent en faciliter l’étude et la classification. «  (Lévi-Strauss, 1981 [1949] Les structures élémentaires de la parenté. Paris, Mouton, p. 257)

D’où le constat de Paul Lavoie :

« La solution mathématique d’un problème d’anthropologie et, partant, sa contribution à l’approche structuraliste de Lévi-Strauss, mettent en lumière l’applicabilité de mathématiques nouvelles aux sciences humaines – ces mathématiques différentes des outils classiques du calcul et de la statistique. » (Paul Lavoie, Claude Lévi-Strauss et les mathématiques)

Avec cet exemple tiré de l’anthropologie on a donc un cas achevé de mathématisation d’une doctrine informe :

« une doctrine in-forme est, puisque c’est une doctrine, c’est-à-dire une opinion donnée pour savoir communicable, un système plus ou moins bien cohérent de concepts, relatifs à un secteur ou à un champ de l’expérience humaine. S’il y a système, même à l’état inchoatif, il est clair qu’il y a forme » (Canguilhem, Georges. 1972.  La mathématisation des doctrines informes, p.8, Paris : Herman)

A partir de là on peut donner une réponse, au moins partielle, à la question posée : les formalismes servent à donner forme à l’informe et les formalismes mathématiques, notamment les axiomatisations, vont nettement plus loin, car elles apportent de l’extérieur l’universalité qui fait nécessairement défaut aux doctrines marquées par leur localisation à des champs restreints de l’expérience humaine.

« L’informe d’une doctrine est saisi, non sans difficultés ni retards, après que la preuve est faite de l’insoutenable prétention à l’universalité d’une opinion régionale«  (Canguilhem, Georges. 1972.  La mathématisation des doctrines informes, p.8, Paris : Herman)

En revenant vers Peirce et à ses définitions un peu compliquées du signe rappelées ci-dessus et compte-tenu des développements ultérieurs des mathématiques , qu’il me soit permis de rappeler que les concepts primitifs de l’algèbre homologique ( catégories, foncteurs) m’ont permis dans un premier temps de mettre en correspondance biunivoque les classes de signes de Peirce avec certains foncteurs puis, en faisant appel aux transformations naturelles obtenir « naturellement » des classifications universelles[6] pour les classes de signes. De plus cette axiomatisation s’étend à toute sorte de complications de la théorie sémiotique que ce soit les signes hexadiques ou décadiques et plus généralement n-adiques. Evidemment on peut continuer à importer dans la sémiotique d’autres notions algébriques comme par exemple les sommes et produits de diagrammes dans une catégorie algébrique qui permettent de donner forme à d’autres problématiques rencontrées dans l’analyse des significations, leur production ainsi que leur communication.

3. Conclusion

Les systèmes axiomatisés sont des passages obligés pour aller « là-bas », et il faut prendre garde, lorsqu’on les soumet à la critique, de « ne pas jeter l’enfant avec l’eau du bain », car ce sont des outils essentiels qui permettent de rendre nos idées plus claires afin de penser avec plus d’exactitude les objets de connaissance


[1] Peirce Matters, 14 novembre, 10:36 ·
[2]http://semiotiquedure.online/76FR/76-fr.htm
[3] Peirce écrit Þ
[4] Peirce écrit µ
[5]https://archimede.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/mai12/Article_Levi-Strauss.pdf
[6] Voir par exemple Marty,Robert, « The trichotomic machine », Semiotica, vol. 2019, no 228,‎ mai 2019, p. 173-192 (ISSN 1613-3692)
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